Sí, exactamente como lo estás haciendo, pero la clorhexidina a ser posible bastante diluida, no se a que dilución tienes el bote, entre el 2 % y 3 % está bien. No hace falta que quites el refugio de corcho.
Si la llevas al veterinario, te cobrará unos 20 euros de la radiografía para verificar si es rotura o dislocación, más la consulta.

Unos 40 - 50 euros